多元函数

  • $n$ ($n\ge2$)元有序实数组$x=(x_1,x_2,…,x_n)$ $(x_i \in \mathbb{R}, i=1,2,…,n)$ 为一个$n$维实向量
  • $n$维实向量全体构成的集合为$\mathbb{R^n}=\{x=(x_1,x_2,…,x_n)|x_i \in \mathbb{R}, i=1,2,…,n)\}$
  • $\mathbb{R^n}$与该集合上定义的向量加法及数与向量的乘法运算构成的代数系统叫$n​$维实向量空间

    • 向量加法:$x+y=\{x_1+y_1,x_2+y_2,…,x_n+y_n\}$
    • 数与向量乘法:$\alpha x=(\alpha x_1,\alpha x_2,…,\alpha x_n)$
  • 再加上$\mathbb{R^n}$ 上定义的内积运算,构成的代数系统叫做$n$维$Euclid​$ 空间

    • 内积:$\left< x,y \right>=\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i}$
  • $n$维$Euclid$ 空间$\mathbb{R^n}$中的向量$x$也称为点$x$,向量的分量$x_i$ 称作点的第$i$个坐标

  • $n$维$Euclid$ 空间$\mathbb{R^n}$ 中向量$x$的长度(或范数, 模)定义为

    • $\left||x|\right|=\sqrt{\left}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+…+x_n^2}​$
  • $n​$维$Euclid​$ 空间$\mathbb{R^n}​$ 向量(点)之间的距离定义为

    • $\rho(x,y)=\left||x-y|\right|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+…+(x_n-y_n)^2}$
  • $n$元数量值函数:$f(x)=f(x_1,x_2,…,x_n)$

    • 自变量是一个$n$维实向量(即有多个自变量)
    • 因变量是一个实数
    • 只有一个对应法则$f$: 多个自变量与一个因变量的关系
    • $eg.z=x^2+y^2,x\in R,y\in R$
  • $n$元向量值函数:$f(x)=(f_1(x), f_2(x),…,f_m(x))^T,x=(x_1,x_2,…,x_n)^T$

    • 自变量是一个$n$维实向量

    • 因变量是一个$m$维实向量

    • 有$m$个对应法则,每个分量是一个多元数量值函数

    • 一元向量值函数

    • 二元向量值函数

多元数量值函数的偏导数

  • 一元函数的导数:表示函数在一点切线的斜率,函数在该点的变化率

  • 考虑二元函数$z=f(x,y)$ 是一个曲面,动点$(x,y)$ 可以过定点$(x_0,y_0)$ 在曲面上沿不同方向变化

  • 偏导数求法:略

方向导数

  • 现在研究多元函数沿任意方向的变化率,即方向导数

方向导数和梯度的关系

  • 若$n$元函数在$x_0$ 处可微,则在该点沿任意$l$方向的方向导数都存在,且有

    其中$e_l=(cos\theta_1,cos\theta_2,…,cos\theta_n)$ 为$l$方向的单位向量,如果记向量

    则可以用内积表示为

    向量内积其实就是向量的点积,即对应坐标分量乘积之和

    向量的点积又可以等于两向量模乘向量的夹角余弦值

  • 当$g$的方向和$l$方向一致时,$cos\alpha=1$ ,方向导数取得最大值,其值为$\left|g\right|$

    • 导数大于0,函数值是增加的
    • 故$f$在$x_0$处沿$g$方向增大得最快!!!!
  • 所以$g$有着特别重要的意义!!表示了函数值增加最快的方向!!!!
  • 假设函数在该点可微,则因此引出讲$g$定义为梯度向量,简称梯度,记作

注意:每个分量是函数值对自变量$x$每个分量的偏导数。

多元数量值函数的链式法则

  • 注意要求和!!注意要分析依赖关系!!!!(下图引用自csdn)

各种类型的偏导数

  • 标量对标量的偏导数: $\frac{\partial u}{\partial v}$

  • 标量对向量的偏导数 : $\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{v}}}=\left(\frac{\partial u}{\partial v_{1}}, \frac{\partial u}{\partial v_{2}}, \cdots, \frac{\partial u}{\partial v_{n}}\right)^{T}$

  • 标量对矩阵的偏导数:

  • 向量对标量的偏导数: $\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{u}}}{\partial v}=\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial v}, \frac{\partial u_{2}}{\partial v}, \cdots, \frac{\partial u_{m}}{\partial v}\right)^{T}$

  • 向量对向量的偏导数(雅可比矩阵,行优先)

    如果为列优先,则为上面矩阵的转置。

  • 矩阵对标量的偏导数